Tìm chữ số thứ k (k ( N) trong số thập phân vô hạn tuần hoàn:
Định lí: (Dấu hiệu nhận biết một phân số đổi được ra số thập phân hữu hạn)
Điều kiện cần và đủ để một phân số tối giản có thể viết được thành ra số thập phân hữu hạn là mẫu số của nó không chứa những thừa số nguyên tố ngoài 2 và 5.
* Từ định lí trên ta rút ra nhận xét sau:
Nếu phân số tối giản
có mẫu b không chứa các thừa số nguyên tố 2, 5 hoặc ngoài thừa số nguyên tố 2, 5 còn chứa cả thừa số nguyên tố khác thì do các số dư trong quá trình chia bao giờ cũng phải nhỏ hơn b nên các số dư chỉ có thể là các số trong:
{1; 2; 3;...;b-1}
Như vậy trong phép chia a cho b, nhiều nhất là sau (b - 1) lần chia có thể gặp các số dư khác nhau, nhưng chắc chắn rằng sau b lần chia thì thế nào ta cũng gặp lại số dư đã gặp trước. Do đó, nếu ta cứ tiếp tục chia thì các số dư sẽ lặp lại và dĩ nhiên các chữ số trong thương cũng lặp lại.
Từ đó để tìm chữ số thứ k sau dấu phảy của số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta chỉ cần xác định được chu kỳ lặp lại của các chữ số trong thương, từ đó dễ dàng suy ra được chữ số cần tìm.
BT. Tìm chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phảy của số:


Hướng dẫn
a) Số
tuần hoàn chu kỳ 3 chữ số 027.
Vì 2005 ( 1 (mod 3) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của A là: 7
b) Số
tuần hoàn chu kỳ 5 chữ số 02439.
Vì 2005 ( 0 (mod 5) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của B là: 0
c) Số
TH chu kỳ 16 chữ số:1960784313725490
Vì 2005 ( 5 (mod 16) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của C là:
d) Số

tuần hoàn chu kỳ 42 chữ số 020408163265306122448979591836734693877551
Vì 2005 ( 31 (mod 42) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của D là: